Pendant les vacances, j'ai visité le château de Versailles, et j'ai trouvé une occupation très amusante : regarder les frises et trouver leurs groupes d'isométries.

Voici un premier exemple pour voir de quoi on va parler :

Cette frise est invariante par translation (comme toutes les frises), et elle a aussi un axe de symétrie horizontal.

Et donc plus généralement, on va s'intéresser aux isométries qui laissent invariante une frise donnée.

Pour rappel, une isométrie est une application qui préserve les distances. Les isométries du plan sont les rotations, les translations, les symétries axiales, et les composées de ces transformations.

Si on prend une partie quelconque du plan, on peut regarder l'ensemble des isométries qui laissent cette partie invariante. Cet ensemble forme un sous-groupe du groupe des isométries du plan.

Une frise, c'est une partie du plan dont l'ensemble des translations qui la laissent invariante forme un groupe isomorphe à $\mathbb{Z}$. Intuitivement, ça veut dire qu'une frise est contituée d'un motif qui se répète périodiquement dans une certaine direction.

Ce qui est surprenant, c'est qu'il n'y a que $7$ groupes d'isométrie possibles pour une frise. Et j'ai essayé de tous les trouver au château de Versailles.

Groupe T

Ici, il n'y a aucune isométrie à part les translations. Le groupe des isométries est donc (isomorphe à) $\mathbb{Z}$.

Groupe TH

En plus des translations, cette frise possède un axe de symétrie horizontal. Le groupe des isométries est $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Groupe TV

En plus des translations, cette frise possède des axes de symétrie verticaux (il y en a un par période). Le groupe des isométries est $\mathbb{Z}$ ⋊ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, ce qui signifie en gros que toute isométrie s'écrit comme le produit d'une translation et d'une symétrie verticale fixée une fois pour toutes.

Groupe THVC

Cette frise possède toutes les symétries vues jusqu'ici : des translations, un axe de symétrie horizontal et des axes de symétries verticaux. Cela impose qu'il y ait des symétries centrales (une par période). Dans les trois groupes précédents, il ne peut pas y avoir de symétrie centrale. Le groupe est $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}$ ⋊ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$).

Groupe TC

Cette frise possède des symétries centrales (comme la précédente), mais pas de symétries axiales : ça saute pas forcément aux yeux sur l'image, mais il y a des motifs entremélés qui empếchent les symétries axiales. Le groupe est à nouveau $\mathbb{Z}$ ⋊ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (comme pour TV).

Mais on considère TV et TC comme deux catégories distinctes, car ils sont vraiment différents. Plus rigoureusement, on distingue ces deux groupes car ils n'ont pas les même générateurs : TV est engendré par une translation et une symétrie verticale, alors que TC est engendré par une translation et une symétrie centrale.

Groupe TG

Ici, il y a un nouveau type d'isométrie : une symétrie glissée. C'est la composée d'une symétrie horizontale et d'une translation d'une demi-période. Le groupe est $\mathbb{Z}$ : il est engendré par une symétrie glissée. Ici aussi, on considère T et TG comme deux catégories distinctes, puisqu'ils n'ont pas les même générateurs.

Le dernier groupe

Pour l'instant j'ai présenté $6$ groupes, donc il en manque un. Malheureusement, je l'ai pas trouvé à Versailles. Mais le lendemain, complètement par hasard, j'ai vu un grillage qui correspond à ce groupe :

Bon, c'est un peu moins joli que les frises de Versailles...

Il s'agit du groupe TVG : il y a les translations, les symétries verticales, et les symétries horizontales glissées d'une demi-période. Il est à nouveau isomorphe à $\mathbb{Z}$ ⋊ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Conclusion

Cette recherche des $7$ groupes de frises était très amusante. C'est le genre de truc auquel j'avais jamais fait attention avant, mais que maintenant je vois partout.

Prochaine étape : trouver les $17$ groupes de papier peint.